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Caos y dinámica de mercados (II)

- La discusión sobre la predictibilidad surge directamente de la discusión anterior, con el inconveniente añadido de la falta de instrumentos de análisis en caso de encontrarnos ante procesos con memoria del pasado lejano, lo que hace que, de momento, no se pueda siquiera evaluar la predictibilidad salvo en el caso de proceso aleatorio.

- La discusión sobre estructura conduce a la puesta en cuestión de la teoría económica, lo que no puede ser hecho sin una base teórica alternativa. Además, la existencia de una cierta estructura parece confirmada por la experiencia, lo que, desgraciadamente, no arroja ninguna luz sobre qué o cómo puede ser esa estructura.

En estas condiciones conviene, antes de continuar, estudiar con algo más de detalle el resultado de nuestra toma de medidas, al que hacíamos referencia al comienzo de este epígrafe.


VARIABLES, DIMENSIONES Y OBSERVACIONES

Un problema añadido se presenta con nuestra toma de datos. Supongamos que lanzamos una piedra y tomamos datos de distancia vertical y horizontal al punto desde el que soltamos la piedra. La representación gráfica de estos datos es una función de la altura y la distancia: es una función en el plano, luego tiene dimensión 2. Sin embargo, el proceso no tiene por qué tener dimensión 2; de hecho, en el ejemplo, la dimensión del proceso, es decir, el número de variables del proceso, no tiene nada que ver con los datos que hemos observado, y tampoco con su representación gráfica.

¿Cómo podemos, entonces, estudiar un proceso del que desconocemos su dimensión real –número de variables- y del que sólo conocemos un aspecto especial –nuestra serie de datos- cuya dimensión probablemente no tiene nada que ver con la del proceso?. La respuesta es que, salvo excepciones, el proceso no es estudiable.

Supongamos que tenemos un proceso con un número N de dimensiones, y supongamos que el proceso nos es desconocido. Si fuésemos capaces de tomar datos de todas las variables, tendríamos una representación gráfica del proceso en un especio de N dimensiones. Pero supongamos que se nos ha escapado una variable, que, por alguna razón, no hemos medido: entonces lo que tenemos es una aproximación gráfica al modelo en un espacio de N-1 dimensiones. Esta aproximación gráfica puede ser suficientemente descriptiva como para que podamos caracterizar el proceso: eso es lo que buscamos. Esta aproximación fue introducida por Poincaré y, desde entonces, se denominan “secciones de Poincaré” a las imágenes producidas por el conjunto de puntos de un proceso de dimensión N, al atravesar un espacio de dimensión menor que N. Normalmente, por razones de claridad, las secciones de Poincaré se estudian en un especio de tres dimensiones cortado por un plano.

Supongamos ahora que tenemos un proceso determinista, totalmente predecible y estructurado en un espacio de tres dimensiones. La sucesión de puntos de ese proceso en el espacio de tres dimensiones (las trayectorias) puede ser la que queramos, pero, en cualquier caso, si cortamos ese espacio con un plano, las trayectorias cortarán al plano en algunos puntos (eso es la sección de Poincaré). Si el proceso es tal como lo hemos definido, entonces la sección de Poincaré será un objeto geométrico sencillo y claramente definido. Puede ser un punto, una circunferencia, una recta, una curva, una espiral; puede ser cualquier otra figura, pero siempre será un objeto claro. La sección de Poincaré revela la estructura y la predictibilidad del proceso.

¿Y si el proceso es aleatorio?. Entonces la sección de Poincaré será una nube de puntos que tenderá a ocupar todo el plano.

¿Y si el proceso es caótico?. Entonces la sección de Poincaré será lo que se denomina un atractor extraño, es decir, un conjunto de trayectorias impredecible pero totalmente estructurado. Nunca podremos saber si estando en un punto de una trayectoria vamos a volver a pasar cerca; y mucho menos cuándo. Pero tendremos una figura extraordinariamente compleja, no una figura sencilla ni una nube de puntos.

Este proceder no resuelve el problema de la dimensionalidad de un proceso, pero ayuda a caracterizarlo. Podríamos estudiar las secciones de Poincaré del proceso, y, a partir de ellas, caracterizarlo. Sí, siempre y cuando estemos midiendo variables relevantes en cuanto a la caracterización del proceso: y eso no lo sabemos a priori. Nuestro desconocimiento del proceso nos lleva a intentar caracterizarlo, lo que exige la medida de variables relevantes, lo que a su vez exige un conocimiento previo del proceso, que no existe. La necesidad de una teoría previa, que supla el desconocimiento absoluto inicial, aparece con toda su crudeza. Pero las secciones de Poincaré nos permiten, por lo menos, acercarnos a una caracterización, siquiera sea intuitiva, sobre la que construir una teoría previa.

Supongamos ahora que hemos tomado medidas de un proceso del que desconocemos absolutamente cualquier teoría previa. Pero admitamos que estamos midiendo algunas variables que, efectivamente, pertenecen al proceso. Entonces las trayectorias formadas por nuestras mediciones son, necesariamente, una sección de Poincaré del proceso. Es verdad que las variables tienen que ser relevantes (si no fuese así, nuestra representación del proceso sería inútil; por ejemplo, si medimos una variable lineal, la sección de Poincaré será una línea recta, aunque esta sea la única variable lineal de un proceso caótico de dimensión 1000), pero no hemos, necesariamente, de suponer que estamos midiendo variables no relevantes. Podemos, por la tanto, utilizar nuestras mediciones para intentar caracterizar el proceso.

Existe una coincidencia entre nuestras tipologías de procesos y las secciones de Poincaré: bastaría con determinar la dimensión fractal o el coeficiente de Hurst de las trayectorias en la sección de Poincaré para caracterizar el proceso. Y podríamos determinar los máximos exponentes de Lyapunov en cada una de las dimensiones de la sección de Poincaré para determinar la existencia de caos. O aproximar la dimensión fractal y el coeficiente de Hurst mediante la pendiente del espectrograma doble-logarítmico de Fourier. Pero en todos estos casos nos encontramos con un problema muy importante: los algoritmos utilizados para calcular esas magnitudes sólo son válidos en procesos de pocas dimensiones. Esto es una restricción esencial en la práctica, ya que, justamente, desconocemos la dimensionalidad del proceso que estudiamos. A modo de ejemplo supongamos que dudamos entre un proceso aleatorio y un proceso caótico, y que nuestra intención es establecer una distribución probabilística sobre una dimensión; la determinación de la dimensión fractal se transforma en esencial, ya que de ser un proceso aleatorio, por la tanto con dimensión fractal 2, la función de distribución general de Paretto-Levi se transforma en la Normal de Gauss, perfectamente conocida; pero si la dimensión fractal no es 2, entonces estamos ante un proceso cuya distribución no es gaussiana, sino una Paretto-Levi inmanejable, de la que se desconocen más cosas que las que se conocen (por ejemplo, la suma de variables normales con media y desviación típica conocida, es una distribución normal con media y distribución típica conocida; en el caso de las Paretto-Levi, no se sabe como es la distribución de una suma de variables, salvo en el caso particular de que tengan la misma dimensión fractal).

Podemos, en conclusión, utilizar las secciones de Poincaré para caracterizar nuestro proceso, pero sabemos que los algoritmos utilizados sobre estas secciones, para calcular las magnitudes esenciales, sólo son válidos si el proceso es de dimensión baja.


SIMULACIÓN DE PROCESOS DE FORMACIÓN DE PRECIOS: LA CONJETURA DE INDEPENDENCIA

En el año 1992, basándonos en trabajos previos sobre funciones aplicadas a series de precios, iniciamos la construcción de un simulador de series de precios a partir de una modificación complicada de la función logística. Nuestra idea era que los procesos eran suficientemente generales como para que nuestro simulador no requiriese la introducción de datos específicos para cada mercado. La idea consistía en que una serie de precios se caracterizaba por la volatilidad y el rango intraday medio, y que estas características debían derivarse sólo del diferencial comprador-vendedor y del número de transacciones diarias. Efectivamente, y con ciertas salvedades en cuanto al cómputo del número de operaciones diarias en algunos mercados, las series simuladas tenían un rango intraday y una volatilidad equivalentes a la del mercado que se pretendía simular. La extensión del simulador a series de valores, y no ya de futuros, generó nuevas dudas en cuanto al funcionamiento de los mercados, más esta vez en cuanto al significado del diferencial comprador-vendedor que directamente en cuanto al número de transacciones diarias.

La conjetura de independencia dice que los procesos de formación de precios en mercados financieros eficientes sólo dependen del diferencial comprador-vendedor y del número de transacciones diarias. Se entiende aquí por mercado financiero eficiente aquel en el cualquier participante puede presentar una oferta de compra o una oferta de venta, y puede aceptar una oferta de compra o una oferta de venta, sobre un volumen relativamente constante en el tiempo.

Sin embargo, el éxito, relativo, del simulador planteó un serio problema conceptual. Si las características esenciales de una serie de precios solamente dependían del número de transacciones diarias y del diferencial comprador-vendedor, entonces, ¿tenían estructura los mercados?. ¿Por qué parecía haber relaciones entre distintos instrumentos?. La experiencia diaria de los mercados señalaba que los movimientos de los precios parecían apoyar la conjetura de independencia. Pero la experiencia en el largo plaz